とことこロゴス
アーランB式
加わる呼量と回線数から、即時式の回線群の呼損率を求める式。空いていればどの回線も使える完全群を対象とする。
イマシルちゃんの解説
電話がかかってきたとき、回線が全部ふさがっていると受け付けられないね。
アーランB式は、加わる通信の負荷を表す呼量と回線数から、電話がつながらない割合である呼損率を求める計算式だよ。
電話はランダムに発生し、どの電話も空いている回線を使える完全群を考えるんだ。
満杯なら待たせずに断る即時式を扱い、かけ直しは考えないよ。
回線数を変えて計算すれば、目標の割合以下に収めるには何本必要かを見積もれるんだ。
計算結果をまとめたアーランB表を使えば、式を毎回計算しなくても必要な回線数を調べられるよ。
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より深い解説
定義
アーランB式は、次の前提のもとで、回線数 S、加わる呼量 a [アーラン] の回線群の呼損率 B を与える式である。
a^S / S!
B(S, a) = ─────────────────────
Σ(k=0..S) a^k / k!| 前提 | 内容 |
|---|---|
| 呼の発生 | ランダム（ポアソン分布に従う） |
| あふれた呼 | 待たせずにすぐ失われる（即時式、再発信しない） |
| 回線群 | どの呼も、空いていればどの回線でも使える（完全群） |
この3つの前提がそろっているので、アーランB式の表は「即時式完全群負荷表」と呼ばれる。
表の読み方
即時式完全群負荷表は、回線数と呼損率の組み合わせごとに、その回線数でその呼損率に収まる最大の呼量を示す。
| 回線数＼呼損率 | 0.01 | 0.05 | 0.1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.010 | 0.053 | 0.111 |
| 2 | 0.153 | 0.381 | 0.595 |
| 3 | 0.455 | 0.899 | 1.271 |
| 4 | 0.869 | 1.525 | 2.045 |
| 5 | 1.361 | 2.218 | 2.881 |
必要な回線数は、目標の呼損率の列を上から見ていき、表の値が求めた呼量以上になった最初の行で求められる。
例：呼量1.5アーラン、呼損率0.05以下にしたい場合
- 回線数3：0.899 → 1.5に足りない
- 回線数4：1.525 → 1.5以上なので、4回線
回線数を1本ずつ計算する方法（漸化式）
アーランB式は、回線数を1本ずつ増やしながら、次の漸化式で計算できる。大きな階乗を扱わずに済むので、プログラムで計算するときに便利である。
B(0, a) = 1
B(S, a) = a × B(S−1, a) ÷ (S + a × B(S−1, a))例：a = 2 アーランのとき
| 回線数 | 呼損率 |
|---|---|
| 1 | 2 × 1 ÷ (1 + 2) ≒ 0.667 |
| 2 | 2 × 0.667 ÷ (2 + 1.333) = 0.4 |
| 3 | 2 × 0.4 ÷ (3 + 0.8) ≒ 0.211 |
| 4 | 2 × 0.211 ÷ (4 + 0.421) ≒ 0.095 |
呼損率0.1以下にするには4回線が必要とわかり、表を使った読み取りと一致する。
表から読み取れる性質
- 同じ回線数なら、許容する呼損率を大きくするほど、扱える呼量は増える
- 回線数が多いほど、1回線あたりで扱える呼量（回線の使用率）が高くなる。たとえば呼損率0.1の列では、3回線で1.271（1回線あたり約0.42）、5回線で2.881（1回線あたり約0.58）である
2つ目の性質は、回線をまとめて大きな群にしたほうが効率がよいこと（大群化効果）を示している。
アーランC式との違い
| アーランB式 | アーランC式 | |
|---|---|---|
| あふれた呼 | すぐ失われる（即時式） | 待たされる（待時式） |
| 求めるもの | 呼損率 | 待たされる確率 |
| 使われる場面 | 電話網、中継回線の設計 | コールセンターのオペレータ数の設計 |
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ネットワークスペシャリスト
- 午前Ⅱ